Вища математика

1. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. Основи диференціального числення.

1. Лінійна алгебра і аналітична геометрія.

1.1.1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Матриці.

Лекції: Визначники другого і третього порядку. Мінори і алгебраїчні доповнення. Поняття про визначники вищих порядків.Обчислення і властивості. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Формули Крамера. Метод Гауса. Системи n рівнянь з n невідомими. Матриці. Основні поняття. Дії над матрицями. Обернена матриця. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою оберненої матриці. Матричні рівняння. Ранг матриці. Розв’язання довільних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Теорема Кронекера- Капеллі. Фундаментальна система розв’язків.

Практика: Комплексні числа. Алгебраїчна, показникова, тригонометрична форма комплексного числа. Дії над комплексними числами. Обчислення і властивості визначників другого і третього порядків. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Формули Крамера. Метод Гауса. Дії над матрицями. Обернена матриця. Матричні рівняння. Розв’язання системи рівнянь методом оберненої матриці. Елементарні перетворення матриці. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Канеллі.

1.1.2. Векторна алгебра. Аналітична геометрія на площині.

Лекції: Поняття вектора. Основні поняття. Лінійні операції над векторами і їх властивості. Системи координат в площині і просторі. Декартова і полярна системи координат, зв”язок між ними. Напрямні косинуси. Проекції і їх властивості. Лінійна залежність і незалежність векторів. Ранг системи векторів. Поняття базису. Лінійні комбінації двох і трьох векторів. Лінійна залежність чотирьох векторів у просторі. Базис на площині і в просторі. Розклад вектора за базисом. Скалярний добуток двох векторів, його властивості і обчислення. Координатна форма скалярного добутку. Геометричний зміст. Вираження скалярного добутку через проекції. Векторний добуток. Його властивості, обчислення. Векторний добуток в координатному вигляді. Геометричний і фізичний зміст. Мішаний добуток, його властивості. Умови компланарності векторів. Координатна форма мішаного добутку. Загальне рівняння прямої лінії в площині. Основні види рівняння прямої на площині. Нормальне рівняння прямої. Відхилення від точки до прямої. Поділ відрізка у даному співвідношенні. Кут між прямими. Поділ відрізку в даному співвідношенні.

Практика: Вектори. Лінійні операції над векторами. Напрямні косинуси вектора. Проекції вектора і дії над ними. Скалярний і векторний добуток двох векторів. Його властивості і геометричний зміст, фізичний зміст і координатна форма. Мішаний добуток і його властивості. Розклад вектора за базисом на площині і в просторі. Пряма лінія на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Відстань від точки до прямої.

1.1.3. Аналітична геометрія в просторі. Криві і поверхні другого порядку.

Лекції: Площина в просторі. Основні види рівняння площини в просторі. Нормальне рівняння площини, відстань від точки до площини. Кут між двома площинами. Пряма у просторі. Основні види рівняння прямої в просторі. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Кут між прямою і площиною. Криві другого порядку. Канонічні рівняння еліпса, гіперболи і параболи. Дослідження їх форми. Поверхні другого порядку. Поверхні обертання. Циліндр, еліпсоїд, сфера, гіперболоїди, параболоїди, конуси. Практика: Площина в просторі. Загальне рівняння площини та його дослідження. Відстань від точки до площини. Умови паралельності і перпендикулярності площин. Рівняння прямої в просторі. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Загальне рівняння прямої в просторі як лінія перетину двох площин. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола і парабола. Дослідження їх форми. Поверхні другого порядку.

1.1.4. Елементи теорії лінійних просторів і лінійних операторів.

Лекції: Лінійний простір, базис і розмірність простору. Евклідів простір, ортонормований базис. Лінійний оператор. Образ і ядро лінійного оператора. Матриця лінійного оператора. Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний многочлен. Формула перетворення матриці лінійного оператора при перетворенні базису. Матриця оператора в базисі із власних векторів. Квадратична форма і зведення її до канонічного вигляду.

Практика: Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Матриця оператора в базисі власних векторів. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

2. Основи диференціального числення.

1.2.1. Функція дійсної змінної. Границя і неперервність функції дійсної змінної.

Лекції: Дійсні числа. Функція однієї змінної, основні означення, способи її задання. Складена, обернена функція. Класифікація функцій. Основні елементарні функції. Границя послідовності і функції. Властивості границі функції. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, зв'язок між ними. Основні леми про нескінченно малі величини. Основні теореми про границі. Перша і друга важливі границі. Натуральні логарифми. Гіперболічні функції. Еквівалентні нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих функцій. Неперервність функцій в точці. Точки розриву і їх класифікація. Функції, неперервні на відрізку. Теореми Коші і Вейєрштраса. Рівномірна неперервність.

Практика: Загальні поняття з теорії функції дійсної змінної. Обернені функції. Складні функції. Елементарні функції. Границі функції дійсної змінної. Властивості границь. Розкриття деяких невизначенностей. Границі числової послідовності. Перша і друга чудові границі і їх наслідки. Еквівалентні нескінченно малі. Таблиця еквівалентів. Неперервність функції в точці. Характеристики точок розриву.

1.2.2. Похідна і диференціал. Основні теореми диференціального числення. Дослідження функції за допомогою похідних.

Лекції: Означення похідної. Механічний ,геометричний та фізичний зміст похідної. Задачі, що приводять до поняття похідної. Похідні від основних елементарних функцій. Приріст функції. Правила обчислення похідних. Похідні від обернених тригонометричних функцій Похідна від складної функції. Таблиця похідних. Похідні від показникові-степеневої функції. Логарифмічне диференціювання. Диференціювання функції в точці. Диференціал функції. Означення, геометричний зміст диференціала. Інваріантність форми першого диференціала. Застосування диференціалів до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. Диференціювання функцій заданих неявно і в параметричному вигляді. Неінваріантність диференціалу порядку вище першого. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Дослідження функцій за допомогою похідних (монотонність, екстремуми, найбільше і найменше значення, опуклість і угнутість, точки перегину, асимптоти. Практика: Похідні деяких елементарних функцій. Обчислення похідної складної функції. Похідна оберненої і показниково-степеневої функції. Похідні гіперболічних функцій. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі. Похідна функції заданої неявно і параметрично. Поняття диференціала. Наближені обчислення за допомогою диференціала. Диференціал складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу. Похідні і диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. Похідні другого порядку функції заданої параметрично. Основні теореми диференціального числення: теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Дослідження функції за допомогою похідних і побудова графіків.

3. Основи диференціального числення для функції кількох змінних. Основи інтегрального числення. Змістовий модуль 1. Основи диференціального числення для функції кількох змінних. Основи інтегрального числення.

Тема 3.1.1. Функції кількох змінних. Диференціальне числення функції кількох змінних.

Лекції: Означення функції кількох змінних. Внутрішні і граничні точки області. Границя, неперервність функції кількох змінних. Точки розриву. Неперервність функції в області. Властивості неперервних функцій. Геометрична інтерпретація функції двох змінних. Диференціювання функції кількох змінних. Частинні похідні. Приріст функції двох змінних. Повний диференціал. Складна функція кількох змінних. Інваріантність форми першого диференціала. Повна похідна і повний диференціал складної функції. Теорема про існування неявної функції (без доведення). Похідні і диференціали вищих порядків. Теорема про мішані похідні. Формула Тейлора для функції двох змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у випадку явного і неявного задання поверхні функцією кількох змінних. Екстремум функції кількох змінних. Необхідні і достатні умови існування екстремуму функції двох змінних. Найбільше і найменше значення функції, неперервної в замкненій обмеженій області. Умовний екстремум. Метод функції Лагранжа.

Практика: Функції кількох змінних. Основні поняття. Границя, неперервність, дії над функціями кількох змінних. Частинні похідні і їх обчислення. Похідна від складної функції кількох змінних. Повний диференціал. Інваріантність форми першого диференціалу. Похідні і диференціали вищих порядків. Мішані похідні. Похідні неявної функції. Дотична площина і нормаль до поверхні. Екстремум функції двох змінних. Умовний екстремум. Застосування повного диференціалу до наближених обчислень.

3.1.2. Інтегральне числення функції однієї змінної. Невизначений інтеграл.

Лекції: Первісна функція. Невизначений інтеграл і його властивості. Інтегрування методом заміни змінної. Таблиці інтегралів. Метод інтегрування за частинами. Рекурентні формули. Інтегрування дробово-раціональних функцій. Інтегрування виразів, що містять квадратний трьохчлен. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій. Приклади елементарних функцій, первісні яких не є елементарними. Інтегрування біноміальних диференціалів. Теорема Чебишева. Інтегрування деяких ірраціональних виразів.

Практика: Обчислення невизначеного інтегралу. Метод інтегрування: заміною змінної, або внесення функції під знак диференціалу. Таблиця інтегралів. Метод інтегрування за частинами (застосування методу в трьох випадках). Інтегрування дробово-раціональних функцій (інтегрування правильних дробів трьох типів). Універсальна тригонометрична підстановка. Інтегрування деяких тригонометричних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій. Теорема Чебишева.

Тема 3.1.3. Визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла. Методи чисельного інтегрування.

Лекції: Задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу. Означення та умови існування визначеного інтегралу. Властивості визначеного інтегралу. Визначений інтеграл як функція змінної верхньої межі. Неперервність і диференційованість цієї функції (теорема Барроу). Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної і інтегрування за частинами у визначеному інтегралі. Метод інтегрування за частинами і заміни змінних у визначеному інтегралі. Обчислення площини фігур в декартових і полярних координатах і в параметричному вигляді. Обчислення об’єму тіла по відомим площам його плоских паралельних перерізів. Спрямлюваність плоскої кривої. Обчислення довжини дуги в декартових і полярних координатах і в параметричному вигляді. Обчислення площі поверхні та об’єму тіла обертання. Статичні моменти, координати центру ваги і моменти інерції дуги плоскої кривої та плоскої фігури. І та ІІ теореми Папа-Гюльдена.

Практика: Визначений інтеграл. Означення і властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Обчислення визначеного інтегралу. Обчислення визначеного інтегралу методом заміни змінних і інтегрування за частинами. Обчислення площі плоскої фігури в декартовій, полярній системах координат і в параметричному вигляді. Обчислення довжини дуги в декартовій і полярній системі координат за допомогою визначеного інтегралу. Обчислення об’єму тіла по паралельним перерізам. Обчислення об’єму і площі поверхні тіла обертання.

3.1.4. Невласні інтеграли.

Лекції: Невласні інтеграли від обмежених функцій по необмеженому проміжку (І роду). Достатні ознаки збіжності і розбіжності невласних інтегралів І роду від додатніх функцій. Абсолютна збіжність. Дослідження інтегралу вигляду. Невласні інтеграли від необмежених функцій по обмеженому відрізку (ІІ роду). Достатні ознаки збіжності і розбіжності невласних інтегралів ІІ роду. Абсолютна збіжність. Дослідження збіжності інтеграла. Методи чисельного інтегрування. Метод прямокутників, трапецій і парабол (Сімпсона). Практика: Обчислення статичних моментів, центрів мас і моментів інерції. І і ІІ теореми Папа-Гюльдена. Невласні інтеграли першого та другого роду. Обчислення, дослідження, властивості.

2. Звичайні диференціальні рівняння.

3.2.1. Диференціальні рівняння І-го порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків.

Лекції: Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні поняття та означення. Поле напрямків, ізокліни. Задача Коші. Геометричний зміст диференціального рівняння. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними та однорідні. Лінійні диференціальні рівняння. Метод Бернуллі і метод варіації довільної сталої. Рівняння, що зводяться до лінійних. Рівняння в повних диференціалах. Диференціальні рівняння вищих порядків. Теорема існування і єдиності розв’язку (без доведення). Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні диференціальні оператори і їх властивості. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку. Фундаментальна система розв’язків.

Практика: Диференціальні рівняння І-го порядку. Рівняння з відокремленими змінними. Однорідні рівняння і рівняння, що зводяться до однорідних. Лінійні диференціальні рівняння І порядку. Метод Бернуллі і метод варіації довільної сталої. Рівняння Бернуллі. Задача Коші. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку. Фізичні і геометричні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь І-го і ІІ-го порядку.

Тема 3.2.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Системи диференціальних рівнянь.

Лекції: Визначник Вронського. Теорема про необхідну і достатню умову лінійної незалежності розв”язків. Теорема про структуру загального розв”язку. Формула Остроградського-Ліувілля. ЛОДР (лінійні однорідні диференціальні рівняння) n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Знаходження загального розв”язку ЛНДР зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду. Принцип накладання розв”язків для ЛНДР зі сталими коефіцієнтами (розглянути випадок рівняння другого порядку). Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і довільною правою частиною (метод Лагранжа). Задачі, що приводять до систем диференціальних рівнянь. Нормальні системи диференціальних рівнянь n-го порядку. Задача Коші (без доведення). Загальний і частинний розв”язок. Розв”язання нормальної системи методом виключення.

Практика: Визначник Вронського. Теорема про структуру загального розв’язку. Формула Остроградського-Ліувілля. Диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і спеціальною правою частиною. Метод варіації довільної сталої Лагранжа для рівнянь другого порядку з правою частиною довільного вигляду. Нормальні системи диференціальних рівнянь. Метод виключення невідомих.

4. Кратні інтеграли.

Криволінійні і поверхневі інтеграли. Векторний аналіз. 1. Кратні інтеграли. Криволінійні і поверхневі інтеграли.

4.1.1. Подвійні і потрійні інтеграли.

Лекції: Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості. Правильна область. Обчислення подвійного інтегралу в декартовій і в полярній системі координат. Потрійний інтеграл, його властивості і обчислення. Обчислення потрійного інтегралу в циліндричній і сферичній системах координат. Якобіан перетворення. Механічні застосування подвійних і потрійних інтегралів: обчислення статичних моментів, центрів ваги, моментів інерції плоского і просторового тіла. Практика: Обчислення подвійного інтегралу в декартовій і полярній системі координат. Обчислення потрійного інтегралу в декартовій, циліндричній і сферичній системах координат.

Тема 4.1.2. Криволінійні і поверхневі інтеграли. Лекції: Криволінійний інтеграл І роду (по довжині дуги), його властивості і обчислення в усіх випадках задання кривої інтегрування. Криволінійний інтеграл ІІ роду (по координатам). Його властивості і обчислення. Зв”язок криволінійного інтегралу І і ІІ роду. Формула Гріна. Фізичні застосування криволінійного інтегралу ІІ роду. Обчислення роботи. Поверхневі інтеграли І роду (по площі поверхні). Означення, властивості і обчислення. Обчислення площі криволінійної поверхні. Практика: Криволінійний інтеграл І роду. Обчислення і властивості. Обчислення і властивості криволінійного інтегралу ІІ роду. Формула Гріна. Обчислення роботи. Обчислення поверхневого інтегралу І роду. Площа криволінійної поверхні.

2. Векторний аналіз. Теорія рядів.

4.2.1. Основні теореми векторного аналізу.

Лекції: Скалярне поле. Поверхні і лінії рівня скалярного поля. Похідна за напрямком. Градієнт скалярного поля. Інваріантне означення градієнту. Потік векторного поля через поверхню. Теорема Гаусса-Остроградського. Векторне поле. Векторні лінії і трубки. Дивергенція векторного поля. Інваріантне визначення дивергенції. Соліноїдальне векторне поле і його основні властивості. Робота силового поля. Циркуляція векторного поля. Потенціальні і соленоїдальні векторні поля. Теорема Стокса. Ротор векторного поля. Інваріантне визначення ротора. Фізичне тлумачення ротора. Лінійний інтеграл в потенціальному векторному полі. Умови незалежності лінійного інтегралу від шляху інтегрування. Умови незалежності лінійного інтегралу від шляху інтегрування. Потенціальні векторні поля. Умови потенціальності. Обчислення лінійного інтегралу у випадку потенціального поля. Практика: Скалярне поле. Градієнт скалярного поля. Похідна за напрямом. Векторне поле. Типи векторних полів. Теорема Стокса і Гауса-Остроградського. Поняття дивергенції і ротора векторного поля.

4.2.2. Теорія рядів. Числові ряди. Функціональні ряди.

Лекції: Числові ряди: основні поняття, означення і властивості. Необхідна умова збіжності числового ряду. Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності: перша і друга теореми порівняння. Ознака Даламбера, радикальна ознака Коші. Інтегральна ознака Коші. Знакопочережні числові ряди. Теорема Лейбніца. Знакозмінні числові ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Теорема Вейєрштрасса. Властивості рівномірно-збіжних функціональних рядів: неперервність суми, почленна диференційованість, і почленна інтегровність функціонального ряду. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Диференціювання і інтегрування степеневих рядів. Ряди Тейлора і Маклорена. Узагальнений степеневий ряд. Приклади розкладу елементарних функцій в степеневі ряди. Біноміальний ряд. Наближені обчислення визначених інтегралів за допомогою рядів. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів.

Практика: Числові ряди. Достатні ознаки збіжності знакододатніх числових рядів. Перша і друга ознаки порівняння. Ознака Д’Аламбера. Радикальна і інтегральна ознаки Коші. Знакопочережні числові ряди. Теорема Лейбніца. Абсолютна і умовна збіжність знакозмінного числового ряду. Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду. Рівномірна збіжність функціонального ряду за теоремою Вейєршраса. Почленне інтегрування і диференціювання функціонального ряду. Степеневі ряди. Визначення радіусу збіжності степеневого ряду. Ряди Тейлора і Маклорена, біноміальний ряд. Розклад функцій в ряди Тейлора і Маклорена. Застосування степеневих рядів до обчислення інтегралів. Розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою рядів. Наближені обчислення за допомогою рядів.

5. Ряди Фур’є. Рівняння математичної фізики. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики.

1. Ряди Фур’є. Рівняння математичної фізики.

Тема 5.1.1. Ряди Фур’є.

Лекції: Тригонометричний ряд. Розкладання в ряд Фур’є 2π – періодичних функцій. Теорема Діріхлє. Ряд Фур’є для парних і непарних функцій. Розкладання в ряд Фур’є 2π – періодичних функцій.

Практика: Розклад функцій в ряд Фур’є. Ряд Фур’є парних і непарних функцій.

5.1.2. Рівняння математичної фізики.

Лекції: Класифікація рівнянь в частинних похідних. Типи рівнянь математичної фізики. Початкові і граничні умови. Типи крайових задач. Розв’язок гіперболічного рівняння для коливання необмеженої струни методом Даламбера. Розв’язок рівняння коливань струни методом розподілення змінних Фур’є. Рівняння теплопровідності і дифузії. Розв’язок рівняння теплопровідності в стержні методом розподілення змінних Фур’є. Рівняння Лапласа. Розв’язання задачі Діріхлє в колі методом Фур’є.

Практика: Розв’язання рівняння гіперболічного типу методом Д’Аламбера і Фур’є. Розв’язання рівняння параболічного типу методом Фур’є. Класифікація рівнянь у частинних похідних.

2. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики.

5.2.1. Елементи теорії імовірностей.

Лекції: Алгебра подій. Простір елементарних подій. Статистичне і аксиоматичне визначення імовірності. Класичне і геометричне визначення імовірностей. Імовірність суми і добутку подій. Умовна імовірність. Формула повної імовірності. Формула Байєса. Послідовність незалежних випробувань Бернуллі. Граничні теореми і інтегральна, локальна теореми Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Визначення випадкової величини. Функції розподілу випадкової величини та їх властивості. Дискретні випадкові величини і їх числові характеристики. Дискретні закони розподілу: біноміальний, пуассоновський. Неперервні випадкові величини, їх числові характеристики. Інтегральна і диференціальна функції розподілу. Розподіли: показниковий, рівномірний. Нормальний закон розподілу. Нерівність Чебишева. Центральна гранична теорема для однаково розподілених величин (без доведення).

Практика: Класичне означення імовірності. Умовна імовірність. Імовірність суми і добутку подій. Формула повної імовірності. Формула Байєса. Схема послідовних випробувань Бернуллі. Інтегральна і локальна теореми Муавра-Лапласа. Процес Пуассона. Дискретна випадкова величина і її числові характеристики. Дискретні розподіли: біноміальний, Пуассона, гіпергеометричний. Неперервна випадкова величина і її числові характеристики. Неперервні розподіли: рівномірний, показниковий і нормальний.

Тема 5.2.2. Елементи математичної статистики.

Лекції: Первинна статистична сукупність. Вибірка. Вибіркові числові характеристики. Інтервалований варіаційний ряд. Гістограма і полігон частот. Емпірична функція розподілу. Точкові і інтегральні оцінки невідомих параметрів розподілу. Поняття про інтервали довіри. Статистична перевірка гіпотез розподілу. Критерій Пірсона.

Практика: Варіаційний ряд, полігон частот, гістограми, вибіркові числові характеристики. Статистична перевірка гіпотез розподілу. Критерій Пірсона.