Математичний аналіз

Основні означення та позначення
Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу:

$$\forall$$ - квантор загальності, вживається для заміни слів “для будь-якого” ;

$$\exists$$ - квантор існування, вживається для заміни слів “існує” ;

$$\exists !$$ - „існує єдиний” ;

$$\Rightarrow$$ - символ імплікації, запис  означає: “якщо $$ \ A$$, то $$\ B$$”;

$$\Leftrightarrow$$ - символ еквівалентності, запис $$A \Leftrightarrow B$$, означає одночасне виконання $$A \Rightarrow B$$ і $$B \Rightarrow A$$ , або для того, щоб $$\ A$$  необхідно та достатньо, щоб $$\ B$$ ;

$$\lor$$ - символ диз’юнкції, запис $$A \lor B$$, означає $$\ A$$ або $$\ B$$ ( не в строгому розумінні);

$$\land$$ - символ кон'юнкції, запис $$A \land B$$, означає $$\ A$$ і $$\ B$$;

$$\stackrel{\mathrm{def}}{=}$$( $$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}$$) - дорівнює за означенням (визначається за означенням);

$$\mathbb N$$ - множина натуральних чисел;

$$\mathbb Z$$ - множина цілих чисел;

$$\mathbb Q$$ - множина раціональних чисел;

$$\mathbb R$$- множина дійсних чисел;

$$\mathbb C$$- множина комплексних чисел;

$$\mathbb X^+ $$ ( $$\mathbb X^- $$ ) - додавання до значків

Більшості з нас добре відомий „парадокс Рассела”, що пов’язаний як раз з множинами. Нагадаємо його: розглянемо множину усіх множин. нехай тоді для множини $$\ M $$ запис  $$\ P(M)$$ означає, що $$\ M$$  не містить себе в якості елемента. Далі розглянемо сукупність $$\ K={M|P(M)} $$. Якщо $$\ K$$ - множина, то істинно або $$\ P(K)$$, або його заперечення. Але це суперечить побудові сукупності $$\ K$$. Дійсно, якщо $$\ P(K)$$ - вірно, тобто $$\ K$$ не містить себе в якості елемента, то воно повинно міститись у $$\ K$$, згідно визначенню сукупності $$\ K$$, а тому є вірним також і заперечення $$\ K$$. Таким чином ми одержали суперечність, точніше парадокс. До цього парадоксу призводить наївне визначення поняття множини, як сукупність будь-чого. В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми углиблятися у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх підмножин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.

Поняття функції
Під $$\ (x,y)$$ будемо позначати впорядковану пару, основною (визначальною) властивістю якої є: $$(x_1,y_1)=(x_2,y_2) \Leftrightarrow (x_1=x_2)\land(y_1=y_2)$$. Елемент $$\ x$$ при цьому називається першою координатою (компонентою), а елемент $$\ y$$  - другою. Аналогічно визначається кортеж $$\ (x_1,x_2,...,x_n)$$, що складається з $$\ n$$ координат.

Декартовим добутком множин $$\ X$$ та  $$\ Y$$ називається множина

$$X \times Y \stackrel {\mathrm{def}}{=} \{ (x,y)|x \in X \land y \in Y \}    $$.

Так само декартовим добутком $$\ n$$ множин $$\ X_1,X_2,...,X_n$$  називається множина $$\ X_1 \times X_2 \times ... \times X_n$$. Якщо множини $$\ X,Y$$ співпадають, то їх декартів добуток позначається як.

Множина $$\ \Gamma$$ називається  бінарним відношенням  між елементами множин  $$\ X$$ та $$\ Y$$, якщо  $$\ \Gamma \subset X \times Y$$.

Упорядкована трійка множин $$\ (X,Y,\Gamma)$$ називається  відображенням  (або  функцією )  з множини  $$\ X$$   в множину  $$\ Y$$, якщо $$\ \Gamma$$ є функціональним бінарним відношенням між елементами множин $$\ X$$ та $$\ Y$$. При цьому множина $$\ X$$ називається  областю відправлення , $$\ Y$$  -  областю прибуття , а $$\ \Gamma$$  -  графіком відображення. 

Перша (друга) проекція графіка відображення $$\ f$$ називається  областю або  множиною визначення (областю або  множиною значень ) відображення $$\ f$$ та позначається $$\ D_f ( E_f)$$.

Теорема 5. (Збіжність неспадної послідовності).
Нехай послідовність $$\ (x_n)$$ неспадна і $$\ \sup x_n=a \in  \overline{\mathbb{R}}$$. Тоді  $$\ \exist\lim_{n \to \infty} x_n = a$$.

Наслідок 2.	теорема Вейєрштрасса.
Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.

Джерела

 * http://uk.wikibooks.org/wiki/Математичний_аналіз/Вступ_до_аналізу